LOI NORMALE SUR CALCULATRICE TI

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Hanus Boris

Avancée

Durée du tutoriel : 15 min

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Loi Normale en Terminale

Tous les résultats seront donnés à $10^{-3}$ près

Une étude sur la répartition des notes d’un examen nationale a permis de les modéliser par une loi normale de paramètre μ=12,5 et d’écart type σ=2,6.

On note X la variable aléatoire suivant cette loi normale.

Calculer $p(X \lt 8)$ et $p(x \leq 10)$

Pour calculer ces probabilités avec sa TI-83 Premium CE, il faut appuyer sur , choisir normalFRep
Puis compléter la boite de dialogue Notons que X < 8 signifie $X \in ] - \infty ; 8 [$ donc borninf qui représente la plus petite valeur de X est -∞ et sera donc représenté sur notre TI-83 Premium CE par -1E99 (qui correspond à $-10^{-99}$ , le plus grand nombre négatif en valeur absolue pour notre machine, ce nombre représente donc -∞ pour la calculatrice). On pouvait aussi choisir 0 comme borninf étant donné que X représente des notes, cela n’aurait changé que la 6ème décimale de notre calcul…
Puis appuyer sur . On obtient le résultat suivant : $p(X \lt 8)=0,042$ à $10^{-3}$ près
On recommence l’opération ou on appuie sur et on écrit 10 à la place de 8. On obtient : $p(X \leq 10)=0,168$ à $10^{-3}$ près

Calculer $p(X \geq 14)$

On peut modifier les arguments précédents ou bien afficher de nouveau la boite de dialogue en appuyant sur
KEY_SECOND_NONE_NONE KEY_VARS_DISTR_NONE ,
choisir normalFRep

Remarque : bornsup correspond à +∞ on a donc écrit ${10^{99}}$ (on pouvait aussi écrire 1E99 mais l’écriture que nous avons choisi est plus « naturelle »).

Puis appuyer sur
KEY_ENTER_ENTRY_NONE .
On obtient le résultat suivant :

Ainsi $p(X/geq14)=0,282$ à $10^{-3}$ près.

Calculer $p(8 \leq X \leq10)$ .

On peut modifier les arguments précédents ou bien afficher de nouveau la boite de dialogue en appuyant sur
KEY_SECOND_NONE_NONE KEY_VARS_DISTR_NONE ,
choisir normalFRep :

Puis appuyer sur
KEY_ENTER_ENTRY_NONE .
On obtient le résultat suivant :

Ainsi $p(8 \leq X \leq 10)=0,126$ à $10^{-3}$ près.

Déterminer la valeur de a telle que $p(X \leq a)=0,95$ .

Il s’agit ici d’utiliser FracNormale accessible dans
KEY_SECOND_NONE_NONE KEY_VARS_DISTR_NONE

Puis on complète la boite de dialogue :

Attention, cette fonction FracNormale vous permet de chercher a telle que

$p(X \leq a)=surface$

On obtient donc a=16,777

soit $p(X \leq 16,777)=0,95$

Déterminer la valeur de b telle que $p(X /geq b)=0,95$ .

Il faut transformer le problème pour pouvoir répondre :

$p(X \geq b)=0,95 \iff 1-p(X \lt b)=0,95 \iff p(X \lt b)=0,05$

On effectue la même procédure, on appuie sur
KEY_SECOND_NONE_NONE

Puis on complète la boite de dialogue :

Remarque, avec la loi normale

$p(X \lt b)=p(X \leq b)$

On obtient donc $b=8,223$ à $10^{-3}$ près.

Déterminer la valeur de c telle que $p(12-c \leq X \leq 12+c)=0,95$ .

Ici aussi il faut transformer le problème :

$p(12-c \leq X \leq 12+c)=0,95 \iff p(X \leq 12+c)-p(X \lt 12-c)=0,95$

$\iff p(X \leq 12+c)-p(X \gt 12+c)=0,95$ par symétrie de la loi normale de moyenne 12 on a

$p(X \lt 12-c)=p(X \gt 12+c)$

$\iff p(X \leq 12+c)-(1-p(X \leq 12+c))=0,95 \iff 2p(X \leq 12+c)-1=0,95$

$\iff p(X \leq 12+c)=\frac{1,95}{2}=0,975$

On effectue la même procédure, on appuie sur
Puis on complète la boite de dialogue :
Ainsi $12+c=17,596 ⇔ c=5,596$ à $10^{-3}$ près.

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